"came"と"running"はどちらも元の形は動詞ですが、文法的には述語動詞（文中の主要な動詞）は"came"で"running"は現在分詞が（主格）補語になっている形です。

 

この例文の場合は、補語は主語の状態を説明する働きをする主格保護なので、彼がどういう状態で来たのか、を説明しています。

 

つまり「走って来た」となります。

​

He went to bed tired.  　疲れて寝た。

He got out of the house crying.    泣きながら家を出た。

​

「補語」についてはこちらでも扱っています。

​